Question

9．如图，观察图（1）中三棱柱有5个面，6个顶点，9条棱；四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱；五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱…由此推得
（1）十棱柱有12个面，20个顶点，30条棱．
（2）n棱柱的面为x，顶点为y，棱为z，则x，y，z的关系是怎样的？

Answer 1

分析 （1）结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案；
（2）利用（1）中规律得出x，y，z的关系．

解答 解：（1）∵三棱柱有5个面，6个顶点，9条棱；四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱；五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱…
由此推得：十棱柱有12个面，20个顶点，30条棱；
故答案为：12、20、30．

（2）由（1）得：∵n棱柱的面为x，顶点为y，棱为z，
∴x=n+2，y=2n，z=3n，
则x，y，z的关系是：x+y-z=2．

点评 此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键．