Question

17．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为底边作一个顶角为120°的等腰三角形△DBC，以D为顶点作∠EDF=60°，使点E，F分别在边AB，边AC上运动，G在AC延长线上且CG=BE，连接EF，GD．
（1）求证：△BED≌△CGD；
（2）试判断当E，F点的位置变化时，是否影响△EAF周长的大小？若有影响，试说明怎样影响；若无影响，请求出△EAF的周长．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两个角为60°，AB=AC=BC，再由三角形BDC为顶角为120°的等腰三角形，利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS即可得证；
（2）当E，F点的位置变化时，不影响△EAF周长的大小，周长为8，理由为：延长AB到M，使BM=FC，利用SAS得到三角形BDM与三角形FCD全等，利用全等三角形对应边相等得到DM=DF，再利用SAS的三角形EDM与三角形EDC全等，利用全等三角形对应边相等得到EM=EF，由三角形AEF周长为AE+EF+AF，等量代换得到结果为AB+AC，求出周长即可．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠EBD=∠GCD=90°，
在△EBD和△GCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=CG}\\{∠EBD=∠GCD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△EBD≌△GCD（SAS）；
（2）当E，F点的位置变化时，不影响△EAF周长的大小，周长为8，理由为：
延长AB至M，使BM=CF，连接MD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又∠BDC=120°，
∴A、B、D、C共圆，
∴∠MBD=∠FCD，
∵BM=CF，BD=CD，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM=DF，∠BDM=∠CDF，
∵∠EDF=60°，
∴∠EDM=∠BDE+∠BDM=∠BDE+∠CDF=∠BDC-∠EDF=60°，
∴∠EDG=∠EDF，
∵DM=DF，DE=DE，
∴△EDM≌△EDF，
∴EM=EF，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EM+AF=AE+BE+BM+AF=AB+CF+AF=AB+AC=4+4=8．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．