Question

5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=8cm，CD=6cm，BC=10cm，点P以每秒1cm的速度从点C出发沿CD向点D运动，同时点E以每秒2cm的速度从点B出发沿BC向点C运动，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，连接PA，PE，设运动时间为t秒．（0＜t＜5）
（1）求边AB的长度；
（2）当t为何值时，PE∥AB；
（3）设四边形APEF面积为S．求S关于t的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形APEF的面积是梯形ABCD面积的$\frac{5}{9}$？若存在，求出此时点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AM⊥BC，在Rt△ABM中，利用勾股定理可得结果；
（2）由PE∥AB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△PCE∽△AMB，由PC=t，CE=10-2t，BM=2t，利用相似三角形的性质可得t；
（3）首先利用AA定理证得△AMB∽△EFB，由相似三角形的性质可得EF，BF，利用三角形的面积公式求得△CPE，△EFB，△EFB的面积，利用S=S_梯形ABCD-S_△ADP-S_△CPE-S_△EFP可得结果；
（4）利用（3）的结果，根据题意可得S=$\frac{5}{9}$S_梯形ABCD，解得t，看t是否在0＜t＜5判断是否存在，根据t得BE，确定点E的位置．

解答 解：（1）过点A作AM⊥BC，
在Rt△ABM中，AM=CD=6cm，BM=BC-CM=BC-AD=10-8=2cm，
∴AB=$\sqrt{{AM}^{2}{+BM}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$（cm）；

（2）若PE∥AB，则∠PEC=∠B，
∵∠C=∠AMB=90°，
∴△PCE∽△AMB，
∴$\frac{PC}{AM}=\frac{CE}{MB}$，
∵PC=t×1=t，CE=10-2t，BM=2t，
∴$\frac{t}{6}=\frac{10-2t}{2}$，
解得：t=$\frac{30}{7}$（秒 ），
∴当t=$\frac{30}{7}$秒时，PE∥AB；

（3）∵∠B=∠B，∠AMB=∠EFB，
∴△AMB∽△EFB，
∴$\frac{AM}{EF}=\frac{AB}{EB}$=$\frac{MB}{FB}$，
∴$\frac{6}{EF}=\frac{2\sqrt{10}}{2t}$=$\frac{2}{FB}$，
∴EF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}t$，FB=$\frac{\sqrt{10}}{5}t$，
∵S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}×（8+10）×6$=54，
${S}_{△ADP}=\frac{1}{2}×AD×DP=\frac{1}{2}×8×（6-t）$=24-4t，
${S}_{△CPE}=\frac{1}{2}×CP×CE=\frac{1}{2}t（10-2t）$=-t²+5t，
S_△EFB=$\frac{1}{2}×BF×EF$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10}}{5}t×\frac{3\sqrt{10}}{5}t$=$\frac{3}{5}$t²，
∴S=S_梯形ABCD-S_△ADP-S_△CPE-S_△EFP=$\frac{1}{2}×（8+10）×6$-（24-4t）-（-t²+5t）-$\frac{3}{5}$t²，
∴S=$\frac{2}{5}$t²-t+30；

（4）存在．
由题意得，$\frac{2}{5}$t²-t+30=$\frac{5}{9}×54$=30，
解得：t₁=0，${t}_{2}=\frac{5}{2}$，
∵0＜t＜5，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，使得四边形APEF的面积是梯形ABCD面积的$\frac{5}{9}$，
∴BE=2×$\frac{5}{2}$=5，
即点E是BC的中点．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质及判定定理和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．