Question

20．已知x₁、x₂是关于x的方程x²-x+t=0的两个非负实数根，设y=${x}_{1}^{4}$+${x}_{2}^{4}$的最大值为M，最小值为m．则M-m=$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 先根据方程有两个非负实数根得到△≥0，x₁•x₂=t≥0，求出0≤t≤$\frac{1}{4}$，再利用根与系数的关系，把条件y=${x}_{1}^{4}$+${x}_{2}^{4}$转化成y与t的函数关系式：y=2（t-1）²-1，求出y的最小值，再根据二次函数的单调性，结合t的取值范围0≤t≤$\frac{1}{4}$，求出y的最大值，从而代入M-m中得到M-m=$\frac{7}{8}$．

解答 解：∵x₁、x₂是关于x的方程x²-x+t=0的两个非负实数根
∴△=1-4t≥0，即t≤$\frac{1}{4}$，
 x₁+x₂=1，x₁•x₂=t≥0，
∴0≤t≤$\frac{1}{4}$，
又∵y=${x}_{1}^{4}$+${x}_{2}^{4}$=（${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$）²-2${x}_{1}^{2}$${x}_{2}^{2}$=[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]²-2${x}_{1}^{2}$${x}_{2}^{2}$，
∴y=（1-2t）²-2t²
=2t²-4t+1
=2（t-1）²-1，（0≤t≤$\frac{1}{4}$）
当t=$\frac{1}{4}$时，y_最小=m=$\frac{1}{8}$，
当t=0时，y_最大=M=1，
∴M-m=1-$\frac{1}{8}$=$\frac{7}{8}$．
故答案为：$\frac{7}{8}$．

点评 本题主要考查了利用根的判别式△=b²-4ac求出字母系数的取值范围，根与系数的关系的进一步运用以及二次函数的最值问题．本题中把y=${x}_{1}^{4}$+${x}_{2}^{4}$转化成y关于t的二次函数：y=2（t-1）²-1，且该函数有最小值-1，最大值的求法根据函数的单调性结合t的取值范围来求是解题的关键．