Question

3．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4$\sqrt{6}$，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．连接DG，并延长DG交BC于点P．
（1）求证：四边形BEDP是平行四边形；
（2）求sin∠FBC的值；
（3）求△BPG的面积．

Answer 1

分析 （1）根据折叠得出∠AEB=∠GEB，根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，得出∠EGD=∠EDG，进一步利用三角形的外角性质求得∠AEB=∠EDG，得出BE∥DP，证得结论成立；
（2）利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得出FD，进一步求得FC，利用勾股定理得出BF，利用锐角三角函数的意义求得sin∠FBC的值；
（3）利用（1）（2）的结论得出△BPG的底BP以及高求得面积即可．

解答 （1）证明：∵将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，E是AD的中点，
∴∠AEB=∠GEB，AE=DE=EG，
∴∠EGD=∠EDG，
又∵∠EGD+∠EDG=∠AEB+∠GEB，
∴∠AEB=∠EDG，
∴BE∥DP，
∵ED∥BP，
∴四边形BEDP是平行四边形；

（2）解：如图，

连接EF，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠ADC=90°，
∴∠EGF=90°，
在Rt△EDF和Rt△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=FG}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x，
在Rt△BCF中，（4$\sqrt{6}$）²+（6-x）²=（6+x）²，
解得x=4．
∴CF=2，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=10，
∴sin∠FBC=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{5}$；

（3）∵四边形BEDP是平行四边形，
∴BP=DE=2$\sqrt{6}$，
∵BG=6，
∴△BPG的高=6×sin∠FBC=$\frac{6}{5}$，
∴△BPG的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×$\frac{6}{5}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{6}$．

点评 此题考查翻折变换，锐角三角函数的意义，勾股定理，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，平行四边形的判定，知识的综合性强，抓住翻折变换的性质，正确利用三角形全等是解决问题的关键．