Question

11．已知抛物线y=-x²-2mx+4m+5，当实数m的值为-1时，抛物线与x轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积最小，其最小值是1．

Answer 1

分析 先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（-m，m²+4m+5），设抛物线与x轴两交点的坐标为（α，0），（β，0），利用抛物线与x轴的交点问题，可判断α、β为方程-x²-2mx+4m+5=0的两实数解，由根与系数的关系得到α+β=-2m，αβ=-（4m+5），利用代数式变形得到|α-β|=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$=2$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$，则根据三角形面积公式得到抛物线与x轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积=$\frac{1}{2}$•（m²+4m+5）•2$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$=[（m+1）²+1]•$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$，利用二次函数性质得m=-1时，（m+1）²+1有最小值1，$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$也有最小值1，于是得到三角形面积的最小值为1．

解答 解：y=-x²-2mx+4m+5=-（x+m）²+m²+4m+5，则抛物线的顶点坐标为（-m，m²+4m+5），
设抛物线与x轴两交点的坐标为（α，0），（β，0），则α、β为方程-x²-2mx+4m+5=0的两实数解，
所以α+β=-2m，αβ=-（4m+5），则|α-β|=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$=$\sqrt{4{m}^{2}+4（4m+5）}$=2$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$，
所以抛物线与x轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积=$\frac{1}{2}$•（m²+4m+5）•2$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$=[（m+1）²+1]•$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$，
因为m=-1时，（m+1）²+1有最小值1，$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$也有最小值1，
所以抛物线与x轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积的最小值为1．
故答案为-1，1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．