Question

19．如图，一次函数y=-$\frac{1}{2}x+2$分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t 取何值时，以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

分析 （1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）由一次函数、二次函数图象上点的坐标特征得到：M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），则N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2）．根据平行四边形的对边相等得到：AO=NM，所以利用方程2=（-t²+$\frac{7}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）来求t的值．

解答 解：（1）∵一次函数y=-$\frac{1}{2}x+2$分别交y轴、x 轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），
将其分别代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{0=-16+4b+2}\end{array}\right.$，
解得b=$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2；

（2）∵点M在直线y=-$\frac{1}{2}x+2$上，点N在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴M（t，-$\frac{1}{2}$t+2）（0＜t＜4），
则N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2）．
又∵如图所示，以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，即四边形AOMN为平行四边形，
∴AO=NM，即2=（-t²+$\frac{7}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2），
整理，得
t²-4t+2=0，
解得t=$\frac{-（-4）±\sqrt{（-4）^{2}-4×2}}{2×1}$=2±$\sqrt{2}$．
即当t=2±$\sqrt{2}$时，以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．解答（2）题时，要注意题中的限制性条件“在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N”，所以以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，即四边形AOMN为平行四边形．