Question

10．如图，△ABC两条角平分线BD，CE相交于点O，∠A=60°，求证：CD+BE=BC．

Answer 1

分析 在BC上找到F使得BF=BE，易证∠BOE=∠COD=60°，即可证明△BOE≌△BOF，可得∠BOF=∠BOE=60°，即可证明△OCF≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BF+CF即可解题

解答 证明：在BC上找到F使得BF=BE，
，
∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=120°，
∴∠BOE=∠COD=60°，
在△BOE和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{∠1=∠2}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△BOF，（SAS）
∴∠BOF=∠BOE=60°，
∴∠COF=∠BOC-∠BOF=60°，
在△OCF和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COF=∠COD}\\{OC=OC}\\{∠4=∠3}\end{array}\right.$，
∴△OCF≌△OCD（ASA），
∴CF=CD，
∵BC=BF+CF，
∴BC=BE+CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△OCF≌△OCD是解题的关键．