Question

5．把一块直角三角板DEM的直角顶点M放在等腰的直角三角板ABC的斜边AB的中点M上，ME和MD分别交边AC、BC于点P、Q，求证：MP=MQ．

Answer 1

分析 连接MC，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACM，CM=BM=$\frac{1}{2}$AB，∠CMB=90°，根据余角的性质得到∠PMC=∠BMQ，推出△PMC≌△BMQ，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：连接MC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵M是AB的中点，
∴∠ACM=45°，
∴∠B=∠ACM，CM=BM=$\frac{1}{2}$AB，∠CMB=90°，
∵∠EMD=90°，
∴∠PMC=∠BMQ，
在△PMC与△BMQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMC=∠BMQ}\\{CM=BM}\\{∠PCM=∠B}\end{array}\right.$，
∴△PMC≌△BMQ，
∴MP=MQ．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，连接CM构造全等三角形是解题的关键．