Question

13．已知二次函数y=-x²-mx-m+1（x为自变量）
（1）若该函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）在（1）的情况下，设函数图象与x轴的两个交点分别为AB，且A点在B点的左边，两点中至少有一点在原点的右边，又设函数图象与y轴交于点C，若以A．B．C三点为顶点的△ABC为等腰三角形，求m的值并写出相应的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=-x²-mx-m+1与x轴有两个交点，利用根的判别式△＞0，可以求出m的取值范围；
（2）令y=0，解-x²-mx-m+1=0可求得函数图象与x轴的两个交点坐标，根据题意确定A，B点的坐标，点A为（-1，0），点B为（1-m，0）；再令x=0，求出点C为（0，1-m），以A．B．C三点为顶点的△ABC为等腰三角形共有三种情况：①CA=CB，②AB=AC，③BA=BC．①中根据题意可知A，B关于y轴对称，得到-1+（1-m）=0，解得m=0，从而求出解析式；②，③可以根据两点距离公式用含有m的代数式表示线段的长度，再根据相等的线段作为等量关系列出关于m的方程，解方程即可求解，然后再代入原方程看是否符合题意，取得符合题意的m的值，从而求出对应的函数解析式．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²-mx-m+1与x轴有两个交点
∴△=（-m）²-4×（-1）×（-m+1）=m²-4m+4=（m-2）²＞0
∴m的取值范围为：m≠2的任何实数．
（2）令y=0，则-x²-mx-m+1=0
解得：x₁=1-m，x₂=-1
∴点A为（-1，0），点B为（1-m，0）
∵A点在B点的左边，两点中至少有一点在原点的右边
∴A点中原点左侧，B点中原点右侧
又∵函数图象与y轴交于点C，即点C中y轴上，且点C为（0，1-m）
当以A．B．C三点为顶点的△ABC为等腰三角形时分情况讨论：
①若CA=CB，即A，B关于y轴对称，那么-1+（1-m）=0，解得m=0；二次函数y=-x²+1
②若AB=AC，则AB²=AC²，
∵AC²=1+（1-m）²，AB²=（1-m+1）²
∴1+（1-m）²=（1-m+1）²，解得m=1，此时点B为（0，0），不合题意，故舍去；
③若BA=BC，则BA=$\sqrt{2}$（1-m），BC=2-m，则$\sqrt{2}$（1-m）=2-m，解得：m=-$\sqrt{2}$
二次函数y=-x²$+\sqrt{2}$x$+\sqrt{2}$+1．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点与一元二次方程之间的关系．函数的图象与x轴的交点情况可以由△=b²-4ac来判断，同时也可以根据△值的范围来求出函数解析式中字母系数的取值范围．本题第2问中给出的条件△ABC为等腰三角形，并没有说明相等的线段，应该分三种情况进行讨论，再结合题目中的条件进行值的取舍．