Question

16．如图，在△ABC中，AC=BC=5cm，AB=6cm，CD⊥AB于点D．动点P、Q同时从点C出发，点P沿线CD做依次匀速往返运动，回到点C停止；点Q沿折线CA-AD向终点D做匀速运动；点P、Q运动的速度都是5cm/s．过点P作PE∥BC，交AB于点E，连结PQ．当点P、E不重合点P、Q不重合时，以线段PE∥BC，交AB于点E，连结PQ．当点P、E不重合且点P、Q不重合时，以线段PE、PQ为一组邻边作?PEFQ．设点P运动的时间为t（s），?PEFQ与△ABC重叠部分的面积为S（cm²）．
（1）用含t的代数式表示线段PE的长．
（2）当点F在线段AB上时，求t的值．
（3）当点Q在线段AB上运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当?PEFQ为矩形时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分两种情况：①当0＜t＜$\frac{4}{5}$时；②当$\frac{4}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$时；然后根据PE∥BC，可得$\frac{PE}{BC}=\frac{PD}{CD}$，据此用含t的代数式表示线段PE的长即可．
（2）首先用含t的代数式表示出QF、QA，然后根据QA=QF，求出t的值是多少即可．
（3）首先作PM⊥BC于点M，作QN⊥BC于点N，设?PEFQ的高为h，分别用含t的代数式表示出PM、QN，进而用含t的代数式表示出h；然后根据三角形的面积的求法，求出S与t之间的函数关系式即可．
（4）当?PEFQ为矩形时，推得∠DQP=∠BCD，然后根据tan∠DQP=tan∠BCD=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{4}$，可得$\frac{PD}{QD}=\frac{5t-4}{8-5t}=\frac{3}{4}$，据此求出t的值是多少即可．

解答 解：（1）∵AC=BC=5cm，CD⊥AB于点D，
∴点D是AB的中点，AD=6÷2=3（cm），
∵AC=5cm，
∴CD=$\sqrt{{AC}^{2}{-AD}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-3}^{2}}=4$（cm）．
①当0＜t＜$\frac{4}{5}$时，如图1，

∵PC=5t，
∴PD=CD-PC=4-5t，
∵PE∥BC，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{PD}{CD}$，
∴PE=$\frac{BC•PD}{CD}=\frac{5}{4}PD$=$\frac{5}{4}$（4-5t）=5-$\frac{25}{4}$t．

②当$\frac{4}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$时，如图2，
，
PD=5t-4，
∵PE∥BC，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{PD}{CD}$，
∴PE=$\frac{BC•PD}{CD}=\frac{5}{4}PD$=$\frac{5}{4}$（5t-4）=$\frac{25}{4}$t-5．
综上，可得
PE=$\left\{\begin{array}{l}{5-\frac{25}{4}t，0＜t＜\frac{4}{5}}\\{\frac{25}{4}t-5，\frac{4}{5}＜t≤\frac{8}{5}}\end{array}\right.$．

（2）如图3，

QF=PE=$\frac{25}{4}$t-5
∵CQ=5t，
∴QA=AC-CQ=5-5t，
∵PE∥BC，PE∥QF，
∴QF∥BC，
∴$\frac{QA}{AC}=\frac{QF}{BC}$，
∵AC=BC，
∴QA=QF，
∴5-5t=$\frac{25}{4}$t-5，
解得t=$\frac{8}{9}$．

（3）如图4，作PM⊥BC于点M，作QN⊥BC于点N，

设?PEFQ的高为h，
∵sin∠PCM=$\frac{BD}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴PM=PC•sin∠PCM=（8-5t）×$\frac{3}{5}$=$\frac{24}{5}$-3t，
∵sin∠QBN=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
∴QN=BQ•sin∠QBN=[6-（5t-5）]×$\frac{4}{5}$=$\frac{44}{5}$-4t，
∴h=QN-PM=（$\frac{44}{5}$-4t）-（$\frac{24}{5}$-3t）=4-t，
∴S=$\frac{1}{2}PE•h$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{25}{4}$t-5）×（4-t）=-$\frac{25}{8}$t²+15t-10．

（4）如图5，当?PEFQ为矩形时，

PD=5t-4，QD=8-5t，
∵?PEFQ为矩形，
∴∠DQP+∠DEP=90°，
∵∠B+BCD=90°，∠DEP=∠B，
∴∠DQP=∠BCD，
∴tan∠DQP=tan∠BCD=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PD}{QD}=\frac{5t-4}{8-5t}=\frac{3}{4}$，
解得t=$\frac{8}{7}$．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了函数关系式的求法、矩形的性质和应用、三角函数的应用、三角形的面积的求法，要熟练掌握．