Question

4．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），且抛物线的顶点D（-1，4）．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）P是直线AC上方的抛物线上的任意一点，求四边形PAOC的面积S的最大值和此时点P的坐标；
（3）F是抛物线的对称轴上一点，当F到直线AC的距离等于线段FB长度的一半时，求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得AC的解析式；
（2）根据线段的和差，可得PE的长，根据面积的和差，可得函数解析式，再根据二次根式的性质，可得答案；再根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据点到直线的距离，可得F到直线AC的距离，根据勾股定理，可得BF的长，根据F到直线AC的距离等于线段FB长度的一半，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）将顶点坐标D（-1，4）、点（0，3）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
当y=0时，-x²-2x+3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
即A（-3，0），B（1，0）．
设AC的解析式为y=kx+b，将A、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
AC的解析式为y=x+3；
（2）如图1，
作PE⊥x轴交AC于E点，设P（m，-m²-2m+3），E（m，m+3），PE=-m²-3m，
S=S_△PAC+S_△AOC=$\frac{1}{2}$PE•x_A+$\frac{1}{2}$AO•OC
=$\frac{1}{2}$（-m²-3m）×3+$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
当m=-$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{63}{8}$；
当m=-$\frac{3}{2}$时，-m²-2m+3=-$\frac{9}{4}$-2×（-$\frac{3}{2}$）+3=$\frac{15}{4}$，
当m=-$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{63}{8}$，P点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如图2，
设F点坐标为（-1，b），
F到AC的距离为$\frac{|-1-b+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2-b|}{\sqrt{2}}$，
DB的长为$\sqrt{（3+1）^{2}+{b}^{2}}$，
由F到直线AC的距离等于线段FB长度的一半，得
$\frac{|2-b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{4+{b}^{2}}}{2}$．
解得b₁=4+2$\sqrt{3}$，b₂=4-2$\sqrt{3}$，
F₁（-1，4+2$\sqrt{3}$），F₂（-1，4-2$\sqrt{3}$），
综上所述：当F到直线AC的距离等于线段FB长度的一半，点F的坐标为F₁（-1，4+2$\sqrt{3}$），F₂（-1，4-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质；（3）利用F到直线AC的距离等于线段FB长度的一半得出关于b的方程是解题关键．