Question

13．如图所示，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB•AC=AD•AE；
（2）若CD=3，AD=6，BD=8，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）首先连接BE，由AD是⊙O的内接△ABC的高，AE是⊙O的直径，可得∠ABE=∠ADC=90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，可得∠E=∠C，即可证得△ABE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AB•AC=AD•AE；
（2）根据勾股定理得到AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=10，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，根据（1）的结论代入数据即可求得结果．

解答 证明：（1）连接BE，
∵AD是⊙O的内接△ABC的高，AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∴AB•AC=AD•AE；

（2）∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵CD=3，AD=6，BD=8，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=10，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵AB•AC=AD•AE，
∴AE=$\frac{AB•AC}{AD}$=$\frac{10×3\sqrt{3}}{6}$=5$\sqrt{3}$，
∴⊙O的面积=（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²•π=$\frac{75}{4}$π．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，圆的面积计算，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．