Question

3．定义：一条直线平分三角形的面积称这条直线为三角形的“等积线”，平分三角形的周长称这条直线为三角形的“等周线”，已知在直角坐标系中，点O为坐标原点，A（4，3），B（4，-3）．
（1）过点A是否存在直线l，既是△AOB的“等积线”又是“等周线”，请说明理由．
（2）当点P在线段OA上，点Q在线段OB上，直线PQ为△AOB的“等周线”，求|y_P-y_Q|；
（3）当点M在线段OB上，点N在线段AB上，直线MN既是△AOB的“等积线”又是“等周线”，
①求OM的长；②平面上是否还有既是△AOB的“等积线”，又是“等周线”的直线？若有，请画出所有情况的示意图．

Answer 1

分析 （1）根据直线AC平分△AOB的面积，那么S_△AOC=S_ABC，再由两个三角形高相等可得OC=BC，再根据OA≠AB即可得出结论；
（2）先利用待定系数法求出直线OA与OB的解析式，设点P（4t，3t），则OP=5t，根据直线PQ为△AOB的“等周线”可得出OQ=8-5t，故可用t表示出Q点的坐标，进而可得出结论；
（3）①设N（4，k），则NB=k+3，由直线MN为△AOB的“等周线”可得出MB与OM的长，设M（$\frac{4}{5}$k，-$\frac{3}{5}$k），可得出S_△AOB=12，由直线MN为△AOB的“等积线”可得出S_△MNB=6，由此可得出k的值，进而可得出结论；
②根据①中的结论可画出既是△AOB的“等积线”，又是“等周线”的直线．

解答 解：（1）不存在． 
若直线AC平分△AOB的面积，那么S_△AOC=S_ABC，
∵两个三角形高相等，
∴OC=BC．
∵AO≠AB，
∴AO+OC≠BC+BA
∴不存在．                           

（2）设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），
∵A（4，3），
∴4k=3，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直线OA的解析式为y=$\frac{3}{4}$x．
同理可得，直线OB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x．
设点P（4t，3t），则OP=5t，
∵直线PQ为△AOB的“等周线”，
∴OQ=8-5t，
∴Q（$\frac{32}{5}$-4t，-$\frac{24}{5}$+3t），
从而|y_P-y_Q|=$\frac{24}{5}$；
   
（3）①设N（4，k），则NB=k+3，
∵直线MN为△AOB的“等周线”，
∴MB=8-（k+3）=5-k，
∴OM=OB-MB=k．
设M（$\frac{4}{5}$k，-$\frac{3}{5}$k）
∵S_△AOB=12，直线MN为△AOB的“等积线”，
∴S_△MNB=6，
∴$\frac{1}{2}$（k+3）（4-$\frac{4}{5}$k）=6，
解得k₁=2，k₂=0，
∴OM=2或OM=0；
②如图所示，共有三条既是△AOB 的“等积线”，又是“等周线”的直线，它们分别是l₁、l₂和x轴．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式及三角形的面积等知识，此题属新定义型题目，正确理解“等积线”和“等周线”的定义是解答此题的关键．