Question

8．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长为$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$或$\frac{32-4\sqrt{15}}{7}$．

Answer 1

分析 连接DD′，利用折叠得出AD=AD′，利用矩形的性质，以及△BCD′为等腰三角形，需要分类讨论；进一步求得结论即可．

解答 解：①：CD'=BD'时，如图，
由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
∵△BCD′为等腰三角形，
∴D′B=D′C，∠D′BC=∠D′CB，
∴∠DCD′=∠ABD′，
在△DD′C和△AD′B中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=AB}\\{∠DCD′=∠ABD′}\\{CD′=BD′}\end{array}\right.$，
∴△DD′C≌△AD′B，
∴DD′=AD′，
∴DD′=AD′=AD，
∴△ADD′是等边三角形，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE，
设DE=x，则AE=2x，
（2x）²-x²=4²，
解得：x=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
即DE=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$．

②：当CD'=CB时，如图，连接AC，
由于AD'=4，CD'=4，
而AC=$\sqrt{{7}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{65}$＞4+4；
故这种情况不存在．

③当BD'=BC时，如图过D'作AB的垂线，垂足为F，延长D'F交CD于G，
由于AD'=BD'，D'F=D'F；易知AF=BF，
从而由勾股定理求得D'F=$\sqrt{AD{'}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
又易证△AD'F∽△D'EG，设DE=x，D'E=x，
∴$\frac{D'E}{AD'}=\frac{D'G}{AF}$，即$\frac{x}{4}=\frac{4-\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{7}{2}}$；
解得x=$\frac{32-4\sqrt{15}}{7}$
综上，故答案为：$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$或$\frac{32-4\sqrt{15}}{7}$．

点评 此题考查翻折变换，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质，证得三角形全等是解决问题的关键．