Question

13．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，CA=CB，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，垂足为F，交AB于点G，过点B作BE⊥BC，交CG的延长线于点E，连接DG．
（1）求证：BE=CD；
（2）求证：GD=GE．

Answer 1

分析 （1）先由CF⊥AD得到∠AFC=90°，再利用等角的余角相等得到BE⊥BC，然后根据“ASA”可证明△ACD≌△CBE，则根据全等三角形的性质即可得到CD=BE；
（2）由于CD=BD，CD=BE，则BD=BE，再根据等腰直角三角形的性质得∠CBA=45°，则∠EBG=45°，然后根据“SAS”可证明△DBG≌△EBG，则根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵CF⊥AD，
∴∠AFC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∵BE⊥BC，
∴∠CBE=90°，
在△ACD和△CBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{AC=CB}\\{∠3=∠2}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE，
∴CD=BE；
（2）∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD，
而CD=BE，
∴BD=BE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°，
而∠CBE=90°，
∴∠EBG=45°，
在△BDG和△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}\\{∠DBG=∠EBG}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△EBG，
∴GD=GE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．