Question

18．已知x轴上两点A（-1，0）、B（4，0）．
（1）在y轴上取一点C，使∠ACB=90°，则点C的坐标为（0，2）或（0，-2）．
（2）设点$D（{x，-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2}）$是平面直角坐标系xOy中的一个动点，以AB为斜边的直角三角形ADB与△AOC相似时，求D点坐标．
（3）设动点$D（{x，-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2}）$到x轴的距离为h，当h≥OC时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设C（0，y），根据勾股定理和两点间的距离公式进行解答；
（2）需要分类讨论：①当∠ADB=90°2时，过D作DH⊥x轴，则△AOC∽△ADB∽△AHD，结合相似三角形的对应边成比例求得x的值；
②当∠ADB=90°时，同理可得$\frac{AO}{CO}=\frac{DH}{AH}=\frac{1}{2}$，结合相似三角形的对应边成比例求得x的值；
（3）根据函数的性质得到|h|≥2，由此求得相应的x的取值范围．

解答 解：（1）设C（0，y），则
1²+y²+4²+y²=5²，
解得y=±2，
故点C的坐标为：（0，2）或（0，-2）．
故答案是：（0，2）或（0，-2）；

（2）依题意得AO=1，OC=2，AB=4-（-1）=5．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+1），
∴该抛物线与x轴的交点坐标是A（-1，0）、B（4，0），
即抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2经过点A、B、D．
以AB为斜边的直角三角形有下列情况
①如图1，当∠ADB=90°时，过D作DH⊥x轴，则△AOC∽△ADB∽△AHD，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{AH}{DH}=\frac{1}{2}$
则有$\frac{{-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2}}{x-（-1）}=2$，解得x₁=-1（舍去），x₂=0，
∴D₁（0，2）；
②当∠ADB=90°时，同理可得$\frac{AO}{CO}=\frac{DH}{AH}=\frac{1}{2}$
同理可得$\frac{{-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2}}{x-（-1）}=\frac{1}{2}$，解得x₃=-1，x₄=3
∴D₂（3，2）；
综上所述点D₁（0，2）和点D₂（3，2）符合要求；

（3）令$-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2=2$得：x₁=3，x₂=0；
令$-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2=-2$得：${x_3}=\frac{{3+\sqrt{41}}}{2}$，${x_4}=\frac{{3-\sqrt{41}}}{2}$；
令$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$，可得该函数图象如图所示2，
当$x≤\frac{{3-\sqrt{41}}}{2}$或$x≥\frac{{3+\sqrt{41}}}{2}$或0≤x≤3时，h≥OC．

点评 本题综合考查了相似三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及勾股定理的应用等知识点，综合性比较强，另外，解答有关于动点问题时，必须分类讨论，以防漏解或错解．