Question

6．如图，tan∠QCF=2，点E在射线CQ上，CE=12，点P是∠QCF内一点，PE⊥QC于点E，PE=4，在射线CQ上取一点A，连AP并延长射线CF于点B，作BD⊥QC于点D．
（1）当AE的长度为多少时，△APE和△BDC相似；
（2）当点P是线段AB中点时，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）连结BE，当S_△APE=S_△EBC时，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥FC，PF⊥QC，得到∠APE=∠C，根据tan∠QCF=2，求得tan∠APE=2；由△APE∽△CBD，得到∠C=∠PAE，于是得到tan∠PAE=2，在Rt△APE中，PE=4，于是求得AE=$\frac{PE}{tan∠PAE}$=$\frac{4}{2}$=2，
（2）△ABC为直角三角形由PE∥BD，推出△APE∽△ABC，得到比例式$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{PE}{BD}$求得BD=8，CD=4，通过△APE∽△BCD，得到∠DBC=∠PAE，于是得到∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°，从而证得结论；
（3）如图，连接BE，设DC=a，则BD=2a，得到S_△APE=S_△EBC，=12a，由△APE∽△ABD，得到比例式$\frac{PE}{BD}$=$\frac{AE}{AD}$，解方程$\frac{4}{2a}$=$\frac{6a}{6a+12-a}$，即可得到结果．

解答 解：（1）∵AB⊥FC，PF⊥QC，
∴∠APE=∠C，
∵tan∠QCF=2，
∴tan∠APE=2．
∵△APE∽△CBD，
∴∠C=∠PAE，
∴tan∠PAE=2，
在Rt△APE中，PE=4，
∴AE=$\frac{PE}{tan∠PAE}$=$\frac{4}{2}$=2；

（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵PE∥BD，
∴△APE∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{PE}{BD}$．
∵点P是线段AB中点，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{PE}{BD}$=$\frac{1}{2}$．
∵PE=4，
∴BD=8，
∴CD=4，
∴DE=12-4=8，
∴AE=8，
∵$\frac{AE}{BD}$=$\frac{PE}{CD}$=1，∠AEP=∠BDF，
∴△APE∽△BCD，
∴∠DBC=∠PAE，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（4）如图，连接BE，设DC=a，则BD=2a，
∴S_△EBC=12a，
∵S_△APE=S_△EBC，=12a，
∵PE=4，
∴AE=6a，
∵△APE∽△ABD，
∴$\frac{PE}{BD}$=$\frac{AE}{AD}$，即 $\frac{4}{2a}$=$\frac{6a}{6a+12-a}$，
解得：a=3（负值舍去），
∴AE=18．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积，三角形中位线定理，综合性较强，有一定难度．进行分类讨论是解决第一问的关键．