Question

1．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点M是边AB上任意一点（不与点A，B重合），过点M作MN∥AC交BC于点N，MP∥BC交AC于点P，连接PN．设线段AM的长为x，△MNP的面积为S．

（1）当x=1时，求△AMP的面积．
（2）求S与x的函数关系式，若S有最大值，求出这个最大值．
（3）如图②，过图①中的点C作直线EF∥AB，并将△ABC的顶点C在直线EF上移动，题中的条件除∠C=90°和AC=3变化外，其他条件不变．在运动变化过程中，S还有最大值吗？若有，请求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，可求得BC的长，继而求得△ABC的面积，又由MP∥BC，可得△AMP∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AMP的面积．
（2）由MP∥BC，易得△AMP是直角三角形，利用三角函数的知识即可表示出PM与AP，易证得四边形PMNC是矩形，可由S=$\frac{1}{2}$PM•PC，利用二次函数的最值，求得答案．
（3）由MP∥BC，MN∥AC，可得△AMP∽△ABC，△MBN∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S_△AMP=$\frac{6}{25}$x²，S_△MBN=$\frac{6}{25}$（5-x）²，又由四边形PMNC是平行四边形，可得S=$\frac{1}{2}$[S_△ABC-S_△AMP-S_△MBN]，继而求得答案．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∵MP∥BC，
∴△AMP∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AMP}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AM}{AB}$）²=（$\frac{1}{5}$）²=$\frac{1}{25}$，
∴S_△AMP=$\frac{6}{25}$；

（2）∵MP∥BC，
∴∠APM=∠C=90°，
∴在Rt△AMP中，PM=AM•sinA=$\frac{4}{5}$x，AP=AM•cosA=$\frac{3}{5}$x，
∴PC=AC-AP=3-$\frac{3}{5}$x，
∵MN∥AC，MP∥BC，
∴四边形PMNC是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴四边形PMNC是矩形，
∴S=$\frac{1}{2}$PM•PC=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{5}$x•（3-$\frac{3}{5}$x）=-$\frac{6}{25}$x²+$\frac{6}{5}$x=-$\frac{6}{25}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∴S有最大值，最大值为：$\frac{3}{2}$；

（3）有最大值．
∵MP∥BC，MN∥AC，
∴△AMP∽△ABC，△MBN∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AMP}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{x}{5}$）²，$\frac{{S}_{△MBN}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{5-x}{5}$）²，
∴S_△AMP=$\frac{6}{25}$x²，S_△MBN=$\frac{6}{25}$（5-x）²，
∵四边形PMNC是平行四边形，
∴S=$\frac{1}{2}$[S_△ABC-S_△AMP-S_△MBN]=$\frac{1}{2}$[6-$\frac{6}{25}$x²-$\frac{6}{25}$（5-x）²]
=-$\frac{6}{25}$x²+$\frac{6}{5}$x=-$\frac{6}{25}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∴S有最大值，最大值为：$\frac{3}{2}$．

点评 此题属于相似三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及二次函数的最值问题．注意利用二次函数的最值求解是关键．