Question

10．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
（2）若CM=2（$\sqrt{3}$+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，求点C到公路ME的距离．

Answer 1

分析 （1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，在Rt△CMD中，直接利用含30°直角三角形的关系求得CD的长即可．

解答 解：（1）答图如图：


（2）作CD⊥MN于点D，

由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，
在Rt△CMD中，
CD=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$×2（$\sqrt{3}$+1）=（$\sqrt{3}$+1）km，
所以点C到公路ME的距离为（$\sqrt{3}$+1）km．

点评 本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键．