Question

7．如图，已知抛物线y=ax²+$\frac{4}{3}$x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且A（-1，0），D（2，2）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使以O、B、P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）小明在探索该图时提出了这样一个猜想：“直线AD平分∠CAB”，你认为小明的猜想正确吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于OP的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据角平分线的性质，平行线的性质，可得∠CAD=∠CDA，根据等腰三角形的判定，可得AC与CD的关系，根据勾股定理，可得AC的长，根据有理数的大小比较，可得AC与CD的关系．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+$\frac{4}{3}$x+c过A、D两点，
将A（-1，0），D（2，2）代入抛物线解析式中，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{4}{3}+c=0}\\{4a+\frac{8}{3}+c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2

（2）存在这样的点P，使以O、B、P为顶点的三角形与△AOC相似，
连接AC，由y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2，C（0，2），B（3，0），
∵∠AOC=∠BOP=90°
①当$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OC}{OB}$时，即$\frac{1}{OP}$=$\frac{2}{3}$，
解得OP=$\frac{3}{2}$，即P₁（0，$\frac{3}{2}$），P₃（0，-$\frac{3}{2}$）此时△AOC∽△POB，
②$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OC}{OP}$时，即$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{OP}$，
解得OP=6，即P₂（0，6），P₄（0，-6），此时△AOC∽△BOP，
∴y轴上存在这样的P点，P₁（0，$\frac{3}{2}$），P₃（0，-$\frac{3}{2}$），P₂（0，6），P₄（0，-6）；
（3）小明的猜想不正确．理由如下：
若AD平分∠CAB，
则∠CAD=∠BAD．
又∵CD∥x轴，
∴∠CDA=∠DAB，
∴∠CAD=∠CDA，
∴CA=CD．
实际上：CD=2，CA=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
即CD≠CA，
∴猜想不正确．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用相似三角形的判定得出关于OP的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．