Question

12．若方程ax²-2x+1=0（a＞0）的两根满足：x₁＜1，1＜x₂＜3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先大致画出二次函数y=ax²-2x+1的图象，根据抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴的交点的横坐标满足x₁＜1，1＜x₂＜3，利用函数图象得到，x=1时，y＜0，即a-2+1＜0，即得a＜1；当x=3时，y＞0，即9a-6+1＞0，解得a＞$\frac{5}{9}$，于是可确定a的取值范围．

解答 解：∵a＞0，b=-2，c=1，
∴抛物线y=ax²-2x+1大致位置如图所示，
∵方程ax²-2x+1=0（a＞0）的两根为x₁，x₂，
∴抛物线与x轴的交点的横坐标满足x₁＜1，1＜x₂＜3，
∵x=1时，y＜0，
∴a-2+1＜0，即得a＜1；
∵x=3时，y＞0，
∴9a-6+1＞0，解得a＞$\frac{5}{9}$，
∴a的取值范围为$\frac{5}{9}$＜a＜1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．