Question

3．如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知∠DAC=30°，∠DAB=75°，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC=（　　）

• A． 10°
• B． 15°
• C． 20°
• D． 25°

Answer 1

分析 过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EF⊥BC于H，如图，先计算出∠EAM=75°，则AE平分∠EAD，根据角平分线的性质得EM=EN，再由CE平分∠ACB得到EM=EH，则EN=EH，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分∠ADB，则∠1=$\frac{1}{2}$∠ADB，根据三角形外角性质得∠1=∠DEC+∠2，即∠1=∠DEC+$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ADB=∠DAC+∠ACB，所以∠DEC=$\frac{1}{2}$∠DAC=15°．

解答 解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EF⊥BC于H，如图，
∵∠DAC=30°，∠DAB=75°，
∴∠EAM=75°，
∴AE平分∠EAD，
∴EM=EN，
∵CE平分∠ACB，
∴EM=EH，
∴EN=EH，
∴DE平分∠ADB，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ADB，
∵∠1=∠DEC+∠2，
而∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1=∠DEC+$\frac{1}{2}$∠ACB，
而∠ADB=∠DAC+∠ACB，
∴∠DEC=$\frac{1}{2}$∠DAC=$\frac{1}{2}$×30°=15°．
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分∠ADB．