Question

9．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，若AE=4cm，则S_△AEB=4cm²．

Answer 1

分析 作BM⊥AE，交AE延长线于M，由正方形和等边三角形的性质得出AD=DE，∠ADE=30°，由三角形内角和定理得出∠DAE=75°，求出∠ABE=∠BAE，得出BE=AE=4cm，由三角形的外角性质得出∠BEM=30°，求出BM=$\frac{1}{2}$BE=2cm，由三角形的面积公式即可得出结果．

解答 解：作BM⊥AE，交AE延长线于M，如图所示：
则∠BME=90°，
∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD=BC，DE=CD=CE，∠EDC=∠ECD=60°，
∴AD=DE，∠ADE=30°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠BAE=90°-75°=15°，
同理：∠ABE=15°=∠BAE，
∴BE=AE=4cm，∠BEM=∠15°+15°=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BE=2cm，
∴S_△AEB=$\frac{1}{2}$AE×BM=$\frac{1}{2}$×4×2=4（cm²）．
故答案为：4．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质、三角形的外角性质；通过作辅助线求出BM是解决问题的关键．