Question

6．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=2，AC=$\sqrt{5}$，求：
（1）△ABC面积；
（2）CD的长；
（3）sin∠ACD的值．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，设CH=x，则AH=2x，根据勾股定理求出x，从而求出CH和AH，在Rt△ABH中，根据∠B=45°，求出BH=AH=2，再求出BC=BH+CH，最后根据三角形的面积公式进行计算即可；
（2）作DF⊥BC于F，根据DF=$\frac{1}{2}$AH，求出DF，再根据∠B=45°求出BF，从而得出CF的长，最后根据CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$代入计算即可；
（3）作DE⊥AC于E，根据S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AC•DE=$\frac{3}{2}$，求出DE，再根据sin∠ACD=$\frac{DE}{DC}$代入计算即可．

解答 解：（1）作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACB=2，AC=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AH}{CH}$=2，
设CH=x，AH=2x，
根据勾股定理得AC=$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，
∴x=1，
∴CH=1，AH=2，
在Rt△ABH中，∠B=45°，
∴BH=AH=2，
∴BC=BH+CH=2+1=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×2=3；

（2）作DF⊥BC于F，
∴DF∥AH，
∵BD=AD，
∴DF=$\frac{1}{2}$AH=1，
∴BF=1，
∴CF=3-1=2，
∴CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；

（3）作DE⊥AC于E，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AC•DE=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$•DE=$\frac{3}{2}$，
∴DE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠ACD=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$．

点评 此题考查勾股定理的运用，三角函数的意义，三角形的面积计算，以及三角形的中位线定理，正确作出两条垂线是解决问题的关键．