Question

6．如图1，抛物线C₁的顶点A（0，-2），抛物线过C（4，6），直线AC与x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式，并求出B点坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C₁于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C₁于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
（3）如图2，将抛物线C₁向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，且抛物线C₂的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件抛物线C₁的顶点A（0，-2），设抛物线的解析式为：y=ax²-2，由于抛物线过C（4，6），于是得到方程6=16a-2，解得a=$\frac{1}{2}$，于是得到抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2，设直线AB的解析式为y=kx+b，得到方程组$\left\{\begin{array}{l}{-2=b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$，即可得到结论；
（2）将x=3代入直线AB、抛物线C₁的解析式中，先求出点D、E的坐标及DE的长，根据FG、DE的比例关系，可求出线段FG的长．同理，先用a表示线段FG的长，然后结合FG的长列出关于a的方程，由此求出a的值．
（3）根据二次函数的平移规律，先求出抛物线C₂的解析式和顶点P的坐标，联立直线AB的解析式可得到点N的坐标．结合N、Q、M三点坐标，易发现△MNQ是等腰直角三角形，过N作NH⊥y轴于H，设MN交y轴于T，那么△MOT、△NHT也是等腰直角三角形，由此求出OT、HT、PT的长；NP是∠MNQ的角平分线，且NQ∥y轴，能证得△NTP是等腰三角形，即NT=TP，由此求出P点的坐标，结合抛物线C₂的解析式，即可确定m的值．

解答 解：（1）∵抛物线C₁的顶点A（0，-2），设抛物线的解析式为：y=ax²-2，
∵抛物线过C（4，6），
∴6=16a-2，解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2，
设直线AB的解析式为y=kx+b，则：
$\left\{\begin{array}{l}{-2=b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴直线AB解析式为y=2x-2；

（2）如图1，直线x=3分别交直线AB和抛物线C₁于D、E两点．
∴y_D=4，y_E=$\frac{5}{2}$，
∴DE=$\frac{3}{2}$，
∵FG：DE=4：3，
∴FG=2，
∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C₁于F、G两点．
∴y_F=2a-2，y_G=$\frac{1}{2}$a²-2
∴FG=|2a-$\frac{1}{2}$a²|=2，
解得：a₁=2，a₂=2+2$\sqrt{2}$，a₃=2-2$\sqrt{2}$；

（3）如图2，设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；
设点M的坐标为（t，0），抛物线C₂的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2-m；
∴0=$\frac{1}{2}$t²-2-m，
∴-2-m=-$\frac{1}{2}$t²．
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$t²，
∴点P坐标为（0，-$\frac{1}{2}$t²）．
∵点N是直线AB与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$t²的交点，则点N的横、纵坐标满足：
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}{t}^{2}}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2-t}\\{{y}_{1}=2-2t}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2+t}\\{{y}_{2}=2+2t}\end{array}\right.$（不合题意，舍去）．
∴N（2-t，2-2t）．
NQ=2-2t，MQ=2-2t，
∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=45°．
∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，
∴MO=OT，HT=HN
∴OT=-t，NT=$\sqrt{2}$（2-t），PT=-t+$\frac{1}{2}$t²．
∵PN平分∠MNQ，
∴∠MNP=∠PNQ，
∵NQ∥PT，
∴∠NPT=∠PNQ，
∴∠MNP=∠NPT，
∴PT=NT，
∴-t+$\frac{1}{2}$t²=$\sqrt{2}$（2-t），
∴t₁=-2$\sqrt{2}$，t₂=2（不合题意，舍去）
-2-m=-$\frac{1}{2}$t²=-$\frac{1}{2}$（-2$\sqrt{2}$）²，
∴m=2．

点评 本题考查了二次函数和一次函数的解析式的求法，函数图象交点坐标的求法、等腰三角形的判定与性质等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，（3）题的难度较大，找到特殊角是解题的关键．