Question

15．如图，Rt△ABO的顶点O是平面直角坐标系的原点，∠AOB=90°，BO=3AO，当点A在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的图象上移动时，点B也在另一反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，试求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式．

Answer 1

分析 首先设B点坐标满足的函数解析式是y=$\frac{k}{x}$，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S_△AOC：S_△BOD=$\frac{1}{9}$，继而求得答案．

解答 解：设B点坐标满足的函数解析式是y=$\frac{k}{x}$，
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S_△AOC：S_△BOD=（$\frac{OA}{OB}$）²，
∵BO=3AO，
∴S_△AOC：S_△BOD=$\frac{1}{9}$，
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AC=$\frac{1}{2}$×2=1，S_△BOD=$\frac{1}{2}$OD•BD=$\frac{1}{2}$|k|，
∴k=18，
∴B点坐标满足的函数解析式是y=$\frac{18}{x}$．

点评 此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．