Question

3．如图，已知直线l：y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$以每秒3个单位的速度向右平移；同时以点M（3，3）为圆心，3个单位长度为半径的⊙M以每秒2个单位长度的速度向右平移，当直线l与⊙M相切时，则它们运动的时间为2.5或10秒．

Answer 1

分析 根据题意确定直线的相对速度，作出直线与圆相切时的图形，求出AM、AE，证明△ADM∽△AEC，△ADM∽△AFG得到成比例线段，求出时间．

解答 解：∵直线以每秒3个单位的速度向右平移，⊙M以每秒2个单位长度的速度向右平移，
∴相当于⊙M静止，直线以每秒1个单位的速度向右平移，
直线y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$与x轴的交点A的坐标为（-1，0），
由题意可知，⊙M的半径为3，设⊙M与x轴相切于点D．
在直角三角形AMD中，AD=4，DM=3，
由勾股定理得，AM=5，AE=5-3=2，
当直线l与⊙M相切于E时，直线交x轴于C，
△ADM∽△AEC，
AC：AM=AE：AD，
即AC：5=2：4，
解得AC=2.5，
∴当t=2.5s时，直线l与⊙M相切；
当直线l与⊙M相切于点F时，直线交x轴于G，
△ADM∽△AFG，
AG：AM=AF：AD，
即AG：5=8：4，
解得：AG=10，
∴当t=10时，直线l与⊙M相切，
故答案为：2.5或10．

点评 本题考查的是直线与圆的关系，通过分析得到直线的相对速度是解题的关键，解答时，注意运用分情况讨论的思想，正确运用相似三角形的性质也是重点．