Question

18．在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）这个二次函数的对称轴是直线x=2；
（2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得答案；
（2）根据抛物线与x轴的交点坐标，可得交点式解析式，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由A（1，0）、B（3，0）关于对称轴对称，得
对称轴为直线：x=2，
故答案为：x=2；
（2）∵A（1，0）、B（3，0），
∴设这个二次函数的表达式y=a（x-1）（x-3）
当x=0时，y=3a，当x=2时，y=-a
∴C（0，3a），D（2，-a），∴OC=|3a|．
∵A（1，0）、E（2，0），∴OA=1，EB=1，DE=|-a|=|a|．
在△AOC与△DEB中，∵∠AOC=∠DEB=90°，
∴当$\frac{AO}{DE}$=$\frac{OC}{EB}$时，△AOC∽△DEB．∴$\frac{1}{|3a|}$=$\frac{|a|}{1}$时，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
当$\frac{AO}{EB}$=$\frac{OC}{DE}$时，△AOC∽△BED，∴$\frac{1}{|3a|}$=$\frac{1}{|a|}$时，此方程无解，
综上所述，所求二次函数的表达式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）（x-3）或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）（x-3），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出得出对称轴，利用相似三角形的判定得出关于a的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．