Question

1．如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为2或32．

Answer 1

分析 分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．

解答 解：如图1，

∵折叠，
∴△AD′E≌△ADE，
∴∠AD′E=∠D=90°，
∵∠AD′B=90°，
∴B、D′、E三点共线，
又∵ABD′∽△BEC，AD′=BC，
∴ABD′≌△BEC，
∴BE=AB=17，
∵BD′=$\sqrt{A{B}^{2}-AD{′}^{2}}$=$\sqrt{1{7}^{2}-{8}^{2}}$=15，
∴DE=D′E=17-15=2；
如图2，

∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，
∴∠CBE=∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D″=∠BCE}\\{AD″=BC}\\{∠BAD″=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ABD″≌△BEC，
∴BE=AB=17，
∴DE=D″E=17+15=32．
综上所知，DE=2或32．
故答案为：2或32．

点评 此题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．