Question

16．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求出AB的长度；
（2）用含有t的式子表示AP和BQ；
（3）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理进行解答即可；
（2）利用题意得出AP=t，BQ=2t即可；
（3）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB，利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．利用其对应边成比例解得t．

解答 解：（1）因为点A（0，6）、点B（8，0），
所以AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$；
（2）设点P、Q移动的时间为t秒，
可得：AP=t，BQ=2t；
（3）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以$\frac{t}{6}=\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{30}{11}$（秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以$\frac{t}{10}=\frac{10-2t}{6}$，
解得t=$\frac{50}{13}$（秒）；
故当t为$\frac{50}{13}$秒或$\frac{30}{11}$秒时，△APQ与△AOB相似．

点评 此题主要考查相似三角形的判定与性质，关键是根据△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．