Question

7．如图，将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上一点M满足∠CAM=∠BAO，求出M的坐标；
（3）抛物线上一点P，作直线OP交直线AC于点D，以OC、CD为边作平行四边形OCDE，平行四边形OCDE与△AOB重合部分的面积为△AOB面积的$\frac{2}{9}$，求出P的坐标．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以设抛物线方程为两点式：y=a（x+3）（x-6），然后把点A的坐标代入该函数解析式即可求得系数a的值；
（2）分类讨论：①如图1，当M第一象限内时，作MN⊥AC于N，过M作MH∥y轴，交AC于G，交x轴于H．
②如图2，当M在第四象限上时，作MN⊥AC于N，过M作MH∥y轴，交AC于G，交x轴于H．
通过锐角三角函数的定义和二次函数图象上点的坐标特征进行解答即可；
（3）设D（t，-t+6），M（-$\frac{t}{2}$，-t+6）结合平行线的性质推知直线EO为y=-x，联立方程组求得N（2，-2），
故S_重合=S_△ABO-_△BNO-S_△AMG，据此列出关于t的一元二次方程，利用方程可以求得t=±4，易得D（4，2），利用直线OD和二次函数交点的求法可以解得点P的坐标．

解答 解：（1）∵B（-3，0），C（6，0），设抛物线为y=a（x+3）（x-6），过A（0，6）
∴6=a（0+3）（0-6），
解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$（x+3）（x-6），即y=-$\frac{1}{3}$x²+x+6；

（2）①如图1，当M第一象限内时，作MN⊥AC于N，过M作MH∥y轴，交AC于G，交x轴于H
∵tan∠MAN=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴设MN=k，AN=2k
∴NG=k，MG=$\sqrt{2}$k，
∴GC=6$\sqrt{2}$-3k，GH=HC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GC=6-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k，
∴OH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k，MH=6-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k，
∴点M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k，6-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k），将其代入y=-$\frac{1}{3}$x²+x+6，
∴-$\frac{3}{2}$k²+2$\sqrt{2}$k=0，
∴k=0（舍去），k=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴M（4，$\frac{14}{3}$），
②当M在第四象限上时，作MN⊥AC于N，过M作MF∥y轴，交AC于G，交x轴于H（图2所示）
∵tan∠MAN=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴设MN=k，AN=2k，
∵NG=k，∴AG=k
∴OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$k，GM=$\sqrt{2}$k，HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$k-6，HM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k-6，
∴M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$k，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k+6），代入y=-$\frac{1}{3}$（x+3）（x-6），
∴-$\frac{1}{3}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$k）²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$k+6=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k+6，-$\frac{1}{6}$k²+2$\sqrt{2}$k=0，
∴k=0（舍去），k=12$\sqrt{2}$y，
∴M（12，-30）

（3）如图3，直线AC为y=-x+6，设D（t，-t+6）
∵直线AB为y=2x+6，
∴M（-$\frac{t}{2}$，-t+6）
∵ED∥AC，
∴k_EO=k_AC=-1，
∴直线EO为y=-x，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=2x+6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴N（2，-2），
∴S_重合=S_△ABO-_△BNO-S_△AMG=$\frac{1}{2}$×3×6-$\frac{1}{2}$t×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×2，
=6-$\frac{{t}^{2}}{4}$=$\frac{2}{9}$×$\frac{1}{2}$×6×3，
∴t=±4，
∴t=4，D（4，2）
∴直线OD为y=$\frac{1}{2}$x，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+x+6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3±\sqrt{33}}{4}}\\{y=\frac{3±\sqrt{33}}{8}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{3+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{33}}{8}$）（$\frac{3-\sqrt{33}}{4}$，$\frac{3-\sqrt{33}}{8}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题型，解题过程中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，锐角三角形函数的定义，平行四边形的性质以及三角形面积的计算．求不规则图形的面积时，将其转化为规则图形的面积是解题的难点．另外，解答关于动点问题时，一定要分类讨论．