Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E在对角线AC的垂直平分线上．连接AE，过点E作AB的平行线，交AD边于点F．动点P沿E-A-D方向移动，过点P作PE的垂线，分别与直线EF、CD交于点M、N．设动点P移动的路程为x．
（1）求线段AE的长；
（2）记△DEN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）直接写出当点P在线段AE上运动时，使得△CMN是等腰三角形的x的值．

Answer 1

分析 （1）根据线段的垂直平分线的性质，AE=EC，设BE=x，则AE=EC=8-x，在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得x的值，进而求得AE的长；
（2）分成P在线段AE上和在AD上两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质求得ND的长，然后利用三角形的面积公式求解；
（3）利用相似三角形的性质以及勾股定理利用x表示出NE、CM以及CN的长，然后分成三种情况进行讨论，解方程求解．

解答 解：（1）设BE=x，则BE=BC-BE=8-x，
∵E在AC的垂直平分线上，
∴AE=EC=8-x，
在直角△ABE中，AB²+BE²=AE²，则4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
则AE=8-x=8-3=5；
（2）当P在AE上时，即0≤x≤5时，PE=x．
如图①，作PG⊥BC于点G，作PH⊥CD于点H．
∵PG⊥BC，∠B=90°，
∴△PGE∽△ABE，
∴$\frac{GE}{BE}=\frac{PG}{AB}=\frac{PE}{AE}$，则$\frac{GE}{3}=\frac{PG}{4}=\frac{x}{5}$，
∴GE=$\frac{3}{5}$x，PG=$\frac{4}{5}$x．
∵∠NPE=∠HPG，
∴∠NPH=∠GPE，
又∵∠PGE=∠NHP=90°，
∴△PHN∽△PGE，
∴△PHN∽△ABE，
∴$\frac{PH}{AB}=\frac{HN}{BE}$，即$\frac{5+\frac{3}{5}x}{4}=\frac{HN}{3}$，
∴HN=$\frac{9}{20}x+\frac{15}{4}$，
∴DN=HN+CH-CD=$\frac{9}{20}x$+$\frac{15}{4}$+$\frac{4}{5}$x-4=$\frac{5}{4}$x-$\frac{1}{4}$，
则S=$\frac{1}{2}$DN•EC=$\frac{1}{2}$×（$\frac{5}{4}$x-$\frac{1}{4}$）×5，即S=$\frac{25}{8}$x-$\frac{5}{8}$；
当P在AD上时，即5＜t≤13时，作PK⊥BC与点K．
同理可得△PEF∽△NPD，
则$\frac{ND}{PF}=\frac{PD}{EF}$，即$\frac{ND}{3-（x-5）}=\frac{8-（x-5）}{4}$，
解得：DN=$\frac{（8-x）（13-x）}{4}$，
则S=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{（8-x）（13-x）}{4}$，即S=$\frac{5（8-x）（13-x）}{4}$；
（3）设EF交PH于点R，则△PMR∽△ABE，
则$\frac{MR}{BE}=\frac{PR}{AB}$，$\frac{PR}{3}=\frac{\frac{3}{5}x}{4}$，
解得：PR=$\frac{9}{20}$x，则EM=$\frac{4}{5}$x+$\frac{9}{20}x$=$\frac{5}{4}$x，
当CM=NM时，EM=$\frac{1}{2}$CN，即$\frac{5}{4}$x=$\frac{1}{2}$×（$\frac{9}{20}x+\frac{15}{4}$+$\frac{4}{5}$x），
解得：x=3；
当CM=CN时，CM²=EC²+EM²，则CM²=25+（$\frac{5}{4}$x）²=25+$\frac{25}{16}{x}^{2}$，
则25+$\frac{25}{16}$x²=（$\frac{9}{20}x+\frac{15}{4}$+$\frac{4}{5}$x）²，解得：x=$\frac{7}{6}$；
当NM=CN时，NM²=EC²+（NC-ME）²=25+（$\frac{9}{20}$x+$\frac{15}{4}$+$\frac{4}{5}$x-$\frac{5}{4}$x）²=25+$\frac{225}{16}$，则MN=$\frac{15}{4}$，
则$\frac{9}{20}$x+$\frac{15}{4}$+$\frac{4}{5}$x=$\frac{15}{4}$，解得：x=0．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及订勾股定理的应用，正确利用x表示出EM，CN以及DN的长是关键．