Question

14．如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于E，交∠ABC的平分线于D，DF⊥BC于F
（1）求证：①BC-AB=2CF；②BC+AB=2BF；
（2）若∠ABC=60°，求∠ADE的度数；
（3）若∠ABC=α，直接写出∠DAE的度数．

Answer 1

分析 （1）①作DH⊥BA交BA的延长线于H，连接DC，根据角平分线的性质得到DF=DH，由DE垂直平分AC，得到AD=CD，推出Rt△ADH≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到AH=CF，BH=BF，根据线段的和差即可得到结论；②同理BC+BA=BF+CF+BA=BF+AH+BA=BF+BH=2BF；
（2）根据角平分线的性质得到∠DBH=∠DBF=30°，根据三角形的内角和得到∠BDH=∠BDF=60°，求得∠HDF=120°，由于∠HDA=∠FDC，于是得到∠ADC=∠ADF+∠FDC=∠ADF+∠HDA=120°，根据等腰三角形的性质得到∠DAE=∠DCE=30°即可得到结论；
（3）由（2）知：∠ADC=∠HDF=180°-α，于是得到∠DAE=$\frac{1}{2}$[180°-（180°-α）]=$\frac{1}{2}$α．

解答 （1）证明：①作DH⊥BA交BA的延长线于H，连接DC，
∵DB平分∠ABC，
∴DF=DH，
∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，
在Rt△ADH与Rt△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=DF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADH≌Rt△CDF，
∴AH=CF，
在Rt△BDH与Rt△BFD中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=DF}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDH≌Rt△BFD，
∴BH=BF，∴BC-BA=BF+CF-（BH-HA）=BF-BH+2CF=2CF；
②同理BC+BA=BF+CF+BA=BF+AH+BA=BF+BH=2BF；
（2）证明：∵∠ABC=60°，
∴∠DBH=∠DBF=30°，∴∠BDH=∠BDF=60°，
∴∠HDF=120°，∵∠HDA=∠FDC，
∴∠ADC=∠ADF+∠FDC=∠ADF+∠HDA=120°，∵DA=DC，∴∠DAE=∠DCE=30°，∴∠ADE=60°；
（3）由（2）知：∠ADC=∠HDF=180°-α，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$[180°-（180°-α）]=$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．