如图.抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+mx+n与直线y=-$\frac{1}{2}$x+3交于A.B两点.交x轴与D.C两点.连接AC.BC.已知A．(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值,条件下.P为y轴右侧抛物线上一动点.连接PA.过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q.问:是否存在点P使得以A.P.Q为顶点的三角形与△ACB相似?若存在.请求出所有符合条件的点P的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n与直线y=-$\frac{1}{2}$x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；
（Ⅱ）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ=∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x．则有P（x，3-3x），然后把P（x，3-3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；

解答解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{\frac{1}{2}×9+mx+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（4，1）．
过点B作BH⊥x轴于H，如图1．∵C（3，0），B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，∴BH=CH=1．
∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=$\sqrt{2}$．
同理：∠ACO=45°，AC=3$\sqrt{2}$，
∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．
过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．
∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．
若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，
∴$\frac{PG}{AG}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{3}$．
∴AG=3PG=3x．
则P（x，3-3x）．把P（x，3-3x）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3，得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=3-3x，
整理得：x²+x=0，解得：x₁=0（舍去），x₂=-1（舍去）．
②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：AG=$\frac{1}{3}$PG=$\frac{1}{3}$x，则P（x，3-$\frac{1}{3}$x），
把P（x，3-$\frac{1}{3}$x）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3，得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=3-$\frac{1}{3}$x，
整理得：x²-$\frac{13}{3}$x=0，解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{13}{3}$，∴P（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{9}$）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，
同理可得：点P的坐标为（11，36）．
②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：点P的坐标为P（$\frac{17}{3}$，$\frac{44}{9}$）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{9}$）、（$\frac{17}{3}$，$\frac{44}{9}$）．

点评本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大．

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