Question

12．已知如图，点D在CB延长线上，E在AB上，连接DE，若∠DEB=∠A，点B为DC中点．求证：DE=AC．

Answer 1

分析 过A作AF∥DE交CD的延长线于F，根据平行线的性质得到∠FAB=∠DEB，等量代换得到∠FAB=∠BAC，根据三角形角平分线的性质得到$\frac{AC}{AF}=\frac{BC}{BF}$，通过△DBE∽△FBA，根据全等三角形的性质得到$\frac{DE}{AF}=\frac{BD}{BF}$，等量代换得到$\frac{DE}{AF}=\frac{AC}{AF}$，即可得到结论．

解答 证明：过A作AF∥DE交CD的延长线于F，
∴∠FAB=∠DEB，
∵∠DEB=∠BAC，
∴∠FAB=∠BAC，
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{BC}{BF}$，
∵AF∥DE，
∴△DBE∽△FBA，
∴$\frac{DE}{AF}=\frac{BD}{BF}$，
∵点B为DC中点，
∴BD=CD，
∴$\frac{DE}{AF}=\frac{AC}{AF}$，
∴AC=DE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形角平分线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．