Question

6．两个形状大小完全一样的两个Rt△ACB和Rt△DCE如图放置，设两直角边BC、CE的夹角∠ECB=α，∠A=β．
（1）求证：EM=BN；
（2）当α、β满足什么关系时，△AMC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到AC=CD，∠A=∠D，CB=CE，推出△DCN≌△ACM，由全等三角形的性质得到CN=CM，根据线段的和差即可得到结论；
（2）由∠BCE=α，得到∠ACM=90°-α，①当∠MCA=∠A，即90°-α=β时，△ACM是等腰三角形，②当∠CMA=∠A，即90°-α+2β=180°时，△ACM是等腰三角形，③当∠MCA=∠AMC，即2（90°-α）+β=180时，△ACM是等腰三角形．

解答 （1）证明：∵Rt△ACB≌Rt△DCE，
∴AC=CD，∠A=∠D，CB=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠DCN=∠ACM，
在△DCN与△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠A}\\{CD=AC}\\{∠DCN=∠ACM}\end{array}\right.$，
∴△DCN≌△ACM，
∴CN=CM，
∴CB-CN=CE-CM，
即EM=BN；

（2）∵∠BCE=α，
∴∠ACM=90°-α，
∴①当∠MCA=∠A，即90°-α=β时，△ACM是等腰三角形，
∴当α+β=90°时，△ACM是等腰三角形，
②当∠CMA=∠A，即90°-α+2β=180°时，△ACM是等腰三角形，
∴2β-α=90°时，△ACM是等腰三角形，
③当∠MCA=∠AMC，即2（90°-α）+β=180时，△ACM是等腰三角形，
∴β=2α时，△ACM是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．