Question

9．已知四边形ABCD中，AB=AD，CA平分△BCD，AE⊥CD交CD延长线于E．请问线段BC，CE及DE间有何关系？说明理由．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质，可得AF与AE的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得AF与CE的关系，BF与DE的关系，根据线段的和差，可得BC=BF+CF，再根据等量代换，可得答案．

解答 解：BC=CE+DE，理由如下：
如图：作AF⊥BC于F点，
∵CA平分△BCD，AE⊥CD交CD延长线于E，AF⊥BC于F点，
∴AF=AE，∠AEC=∠AFC=90°．
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF （HL），
∴CE=CF．
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE （HL），
∴BF=DE．
∵BC=BF+CF，
∴BC=DE+CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了“HL”判定全等三角形全等是解题关键，又利用了全等三角形的对应边相等．