如图.在平面直角坐标系xOy中.正方形OABC的边长为2cm.点A.C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上.抛物线y=ax2+bx+c经过点A.B和D．(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上求点M.使得M到D.A的距离之差最大.求出点M的坐标．(3)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动.同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动.当其中一点到� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B和D（4，-$\frac{2}{3}$）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
（3）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ²（cm²）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取$\frac{5}{4}$时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；
（2）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标；
（3）①根据勾股定理和已知条件，可以求得PB、BQ的长度，即可求出S与运动时间t之间的函数关系式（0≤t≤1）；
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为两种种情况根据平行四边形的性质求出R点的坐标，代入抛物线解析式，看能否使等式成立，能的话，这种情况就存在．

解答解：（1）据题意可知：A（0，-2），B（2，-2），C（2，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B和D（4，-$\frac{2}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{-2=4a+2b+c}\\{-\frac{2}{3}=16a+4b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{6}}\\{b=-\frac{1}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{3}$x-2；

（2）点A关于抛物线的对称轴x=1的对称点为B．
作直线BD，与对称轴的交点即为M．如图1，
∵B（2，-2）、D（4，-$\frac{2}{3}$），
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$，
当x=1时，y=-$\frac{8}{3}$，
则M（1，-$\frac{8}{3}$）；
（3）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，AP=2t，
∵在Rt△PBQ中，∠B=90°，
∴S=PQ²=PB²+BQ²，
∴S=（2-2t）²+t²，
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．
②当S=$\frac{5}{4}$时，$\frac{5}{4}$=5t²-8t+4
即20t²-32t+11=0，
解得：t=$\frac{1}{2}$，t=$\frac{11}{10}$＞1（舍）
∴P（1，-2），Q（2，-$\frac{3}{2}$）．
∴PB=1．
若R点存在，分情况讨论：
（i）当为平行四边形PBRQ时，如图2，这时QR=PB，RQ∥PB，
则R的横坐标为3，R的纵坐标为-$\frac{3}{2}$，
即R₁（3，-$\frac{3}{2}$），代入y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{3}$x-2，左右两边相等，
故这时存在R（3，-$\frac{3}{2}$）满足题意；
（ii）当为平行四边形PRBQ时，这时PR=QB，PR∥QB，
则R₂（1，-$\frac{5}{2}$），代入y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{3}$x-2，左右两边不相等，
则R₂不在抛物线上
综上所述，存点一点R，以点P、B、Q、R为顶点的平行四边形只能是□PQRB．
则R（3，-$\frac{3}{2}$）．
此时，点R（3，-$\frac{3}{2}$）在抛物线y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{3}$x-2上．

点评本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算．此题综合性强，是一道难度较大的题目．

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