Question

19．如图，在等边三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN．
请你按题中给出的辅助线的做法，完成证明过程．
证明：在边AB上截取AD=MD，连接MD．

Answer 1

分析 在AB上截取DA=MC，连接DM，得△ADM，求出∠2=∠1，∠5=∠MCN，根据ASA推出△ADM≌△MCN即可．

解答 证明：在AB上截取DA=MC，连接DM，得△ADM，
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC，DA=MC，
∴BA-DA=BC-MC，
即BD=BM，
∴△BDM为等边三角形，
∴∠6=60°，
∴∠5=180°-∠6=120°，
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△ADM和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AD=MC}\\{∠5=∠MCN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△MCN （ASA），
∴AM=MN．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出两三角形全等．