Question

13．如图，在⊙0中，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，点P为弧AC上一点，且∠BPC=60°．若BP=6，PC=2．求线段AP的长度．

Answer 1

分析 由$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，得到AB=AC，推出△ABC是等边三角形，得到△ABP∽△PQC，根据相似三角形的性质得到$\frac{PC}{PB}=\frac{PQ}{AP}$，求得PQ=$\frac{1}{3}$AP，过A作AH∥PC，推出△AHP是等边三角形，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{AH}{PC}=\frac{HQ}{PQ}$，即$\frac{AP}{PC}=\frac{AP-PQ}{PQ}$，即可得到结论．

解答 解：∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∵∠BPC=60°，
∴∠ACB=∠APB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵∠APB=∠QPC=60°，∠ABP=∠QCP，
∴△ABP∽△PQC，
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{PQ}{AP}$，
∴PQ=$\frac{1}{3}$AP，
过A作AH∥PC，
∴∠AHP=∠HPC=60°，
∵∠APB=∠ACB=60°，
∴△AHP是等边三角形，
∴AH=PH=AP，
∴$\frac{AH}{PC}=\frac{HQ}{PQ}$，即$\frac{AP}{PC}=\frac{AP-PQ}{PQ}$，
∴$\frac{AP}{2}=\frac{AP-\frac{1}{3}AP}{\frac{1}{3}AP}$，
∴AP=4．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理、相似三角形的性质及判定定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形．