Question

6．已知如图边长为1cm的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点B顺时针旋转30°，则这两个正方形重叠部分的面积是$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm²．

Answer 1

分析 连结BH，如图，利用正方形的性质得BA=BC，∠ABC=∠A=∠C=90°，再根据旋转的性质得BE=BC，∠EBC=60°，则可根据“HL”判断Rt△BHE≌Rt△BHC，则∠HBE=∠HBC=30°，接着在Rt△EBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则根据三角形面积公式得到S_△HBE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，于是得到S_{四边形BEHC}=2S_△HBE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm²．

解答 解：连结BH，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=∠A=∠C=90°，
∵正方形BADC绕顶点B顺时针旋转30°得到正方形BEFG，
∴BA=BE=1，∠ABE=30°，∠E=∠A=90°，
∴BE=BC，∠EBC=60°，
在Rt△BHE和Rt△BHC中
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BHE≌Rt△BHC，
∴∠HBE=∠HBC=30°，
在Rt△EBH中，∵∠HBE=30°，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△HBE=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴S_{四边形BEHC}=2S_△HBE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（cm²），
即这两个正方形重叠部分的面积是$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm²．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．