Question

14．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，M是AC上一点，ME⊥AD于点E，MF⊥BC于点F
求证：$\frac{MF}{AB}$+$\frac{ME}{CD}$=1．

Answer 1

分析 根据已知条件证得EM∥CD，FM∥AB，于是得到△AEM∽△ACD，△CMF∽△CAB，根据相似三角形的性质得到$\frac{EM}{CD}=\frac{AM}{AC}$，$\frac{FM}{AB}=\frac{CM}{AC}$，两式相加即可得到结论．

解答 证明：∵ME⊥AD于点E，MF⊥BC于点F，
∵∠B=∠D=90°，
∴EM∥CD，FM∥AB，
∴△AEM∽△ACD，△CMF∽△CAB，
∴$\frac{EM}{CD}=\frac{AM}{AC}$，$\frac{FM}{AB}=\frac{CM}{AC}$，
∴$\frac{MF}{AB}$+$\frac{ME}{CD}$=$\frac{AM}{AC}+\frac{CM}{AC}$=1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．