Question

1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，M是BC的中点，ME∥AD，交AB于F，交CA延长线于E，AB＞AC，求证：BF=CE．

Answer 1

分析 作BN∥AC交EM的延长线于点N，如图，利用平行线的性质得∠N=∠E，则可根据“AAS”判断△BMN≌△CME，得到BN=CE，再由AD平分∠BAC得∠2=∠3，由ME∥AD得到∠3=∠E，∠1=∠2，所以∠1=∠E，利用等量代换即可得到∠1=∠N，则根据等腰三角形的判定得BN=BF，所以BF=CE．

解答 证明：作BN∥AC交EM的延长线于点N，如图，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∵BN∥AC，
∴∠N=∠E，
在△BMN和△CME中
$\left\{\begin{array}{l}{∠N=∠E}\\{∠BMN=∠CME}\\{BM=CM}\end{array}\right.$
∴△BMN≌△CME，
∴BN=CE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠2=∠3，
∵ME∥AD，
∴∠3=∠E，∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠N=∠E，
∴∠1=∠N，
∴BN=BF，
∴BF=CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等腰三角形的判定与性质．解决本题的关键是构建△BNM与△CME全等．