Question

20．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，b），点B（a，0），点D（d，0），其中a、b、d满足$\sqrt{a+1}$+|b-3|+（2-d）²=0，DE⊥x轴，且∠BED=∠ABO，直线AE交x轴于点C．
（1）求A、B、D三点的坐标；
（2）求直线AE的解析式；
（3）若以AB为一边在第二象限内构造等腰直角△ABF，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式，利用非负数的性质求出a，b，c的值，即可确定出A，B，D的坐标；
（2）由B，D，A的坐标，求出OB与OD的长，进而求出BD的长，得出OA=BD，利用AAS得到三角形ABO与三角形BED全等，利用全等三角形对应边相等得到ED=BD=1，求出E坐标，利用待定系数法求出直线AE解析式即可；
（3）如图所示，分三种情况考虑：若BF₁=AB，∠ABF₁=90°时；若AF₂=AB，∠F₂AB=90°时；若AF₃=BF₃，且∠AF₃B=90°时，直线AF₁与直线BF₂交点即为F₃，分别求出F坐标即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a+1}$+|b-3|+（2-d）²=0，
∴a+1=0，b-3=0，2-d=0，
解得：a=-1，b=3，d=2，
∴A（0，3），B（-1，0），D（2，0）；
（2）∵B（-1，0），D（2，0），A（0，3），
∴OB=1，OD=2，即BD=OB+OD=1+2=3，
∴OA=BD=3，
在△ABO和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDE=90°}\\{∠ABO=∠BEO}\\{OA=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BED（AAS），
∴ED=OB=1，
∴E（2，1），
设直线AE解析式为y=mx+n，
将A（0，3）与E（2，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
则直线AE解析式为y=-x+3；
（3）如图所示：

若BF₁=AB，∠ABF₁=90°时，设F₁（x，y），
则有$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（-1）^{2}+{3}^{2}}$，且$\frac{3-0}{0-（-1）}$•$\frac{y-0}{x+1}$=-1，
整理得：（x+1）²+y²=10①，x+1=-3y②，
②代入①得：y²=1，即y=1（y=-1舍去），
把y=1代入②得：x=-4，此时F₁（-4，1）；
若AF₂=AB，∠F₂AB=90°时，设F₂（m，n），
则有$\sqrt{{m}^{2}+（n-3）^{2}}$=$\sqrt{（-1）^{2}+{3}^{2}}$，且$\frac{n-3}{m-0}$•3=-1，
整理得：m²+（n-3）²=10，n-3=-$\frac{1}{3}$m，
解得：m=-3，n=4，此时F₂（-3，4）；
若AF₃=BF₃，且∠AF₃B=90°时，直线AF₁与直线BF₂交点即为F₃，
由A（0，3），F₁（-4，1），得到直线AF₁解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3；
由B（-1，0），F₂（-3，4），得到直线BF₂解析式为y=-2x-2，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，此时F₃（-2，2）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，非负数的性质，直线垂直时斜率乘积为-1，两直线的交点，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质及法则是解本题的关键．