Question

【题目】（本题满分12分）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0， a），C（b，0）满足。

（1）则C点的坐标为__________;A点的坐标为__________．

（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1,2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使,若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC=∠FCO, 点G是第二象限中一点，连OG,使得∠AOG=∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H， 当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化,若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0,4） C（2,0）；（2）存在，t=1；（3）不变，值为2．

【解析】

试题分析：（1）由二次根式和绝对值的非负性求出a,b值，进而知道A,C的坐标；（2）由条件知:点Q到达A点整个运动随之结束,Q点从O点运动到A点时间为2秒, ∴ 0＜t≤2，点Q在线段AO上,P在线段OC上，∵CP=t ，OC=2， ∴OP=2-t,OQ=2t,∵D的坐标是（1,2），假设存在，列出△ODP和△ODQ面积相等的式子，看符合条件的t值是否存在；（3）根据已知条件先证明OG∥AC,然后过H点做AC的平行线交OA于M,交OC于N，利用两直线平行内错角相等，和三角形外角性质，设法将∠OHC转化成∠1＋∠2＋∠4，将∠OEC转化成∠1＋∠4，这样就求出了所求问题的比值．

试题解析：（1）由二次根式和绝对值的非负性得，b-2=0,∴b=2,a-2b=0,即a-4=0,∴a=4，∴A（0,4） C（2,0）；（2）由条件知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒,点Q到达A点整个运动随之结束，∴0<t≤2，此时点Q在线段AO上,P在线段OC上，即CP=t ,OP=2-t,OQ=2t,∵D的坐标是（1,2），∴ ，，，∴2-t=t，∴t=1,符合条件，∴存在这样的t，使,此时t=1．

先根据已知条件证明OG∥AC ，如图：∵∠2＋∠3=90 ，∠1=∠2，∠3=∠FCO∴∠1＋∠2＋∠3＋∠FCO=2（∠2＋∠3）=180,∴OG∥AC ,过H点作AC的平行线交OA于M,交OC于N，则OG∥MN∥AC,∴∠GOF=∠1＋∠2=∠OHN,∠NHC=∠4，利用三角形外角性质可得：∠OEC=∠OAC＋∠4=∠1＋∠4，∴∠OHC=∠OHN＋∠NHC=∠1＋∠2＋∠4,∴,∴的值不变．其值为2．