Question

13．点P为反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$上一点，向x，y轴上作垂线，交反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上于点A，B，交x轴于点D，交y轴于点C，则
（1）S_△OAC=S_△OBD；
（2）A为PC中点时，S_△OCA=S_△AOP=S_△POB=S_△BOD；
（3）A为PC中点时，B为PD中点；
（4）$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{n}$时，$\frac{BD}{PD}$=$\frac{1}{n}$；
（5）S_{四边形AOBP}=|k₁-k₂|为定值．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的性质直接得出结论；
（2）利用三角形的面积公式以及等底同高的两三角形面积相等即可；
（3）同（2）的方法即可；
（4）利用同高的两三角形面积的比是底的比即可；
（5）利用图形的面积差即可，

解答 解：（1）如图，

连接OP，
∵点A在反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$|k₂|
∵点B在反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}$|k₂|，
∴S_△AOC=S_△BOD，
（2）∵A为PC中点，
∴AC=PA，
∵PC⊥y轴，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC×OC，S_△AOP=$\frac{1}{2}$AP×OC，
∴S_△AOC=S_△AOP，
由（1）知，S_△AOC=S_△BOD，
∴S_△AOC=S_△AOP=S_△BOD，
∵S_△POC=S_△POD，
∴S_△AOP=S_△POB，
∴S_△OCA=S_△AOP=S_△POB=S_△BOD，
（3）由（2）知S_△POB=S_△BOD
∵S_△POB=$\frac{1}{2}$PB×OD，S_△DOB=$\frac{1}{2}$DB×OD，
∴PD=DB，
∴点B是PD中点；
（4）由（2）知，S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC×OC，S_△AOP=$\frac{1}{2}$AP×OC，
∵$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△AOP}}=\frac{1}{n}$，
∵S_△BOD=S_△AOC，S_△POD=S_△POC，
∴S_△BOP=S_△AOP
∴$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{△BOP}}=\frac{1}{n}$，
∵S_△POB=$\frac{1}{2}$PB×OD，S_△DOB=$\frac{1}{2}$DB×OD，
∴$\frac{BD}{PD}$=$\frac{1}{n}$；
（5）点P在为反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$上，且PC⊥y轴，PD⊥x轴，
∴S_{四边形OCPD}=k₁，
∵反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上于点A，B，
∴S_△AOC+S_△BOD=k₂，
∴S_{四边形AOBP}=S_{四边形OCPD}-（|S_△AOC+S_△BOD）=|k₁-k₂|．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，同底等高的三角形的面积关系，同高的两三角形的面积比等于底的比，解本题的关键是利用反比例函数的性质．