Question

19．如图，在⊙O中．弦CD与直径AB相交于点E，且∠AEC=30°，AE=1cm，BE=5cm．求：
（1）点O到CD的距离；
（2）弦CD的长．

Answer 1

分析 （1）因为∠AED=30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为3cm，进而求得OE=3-1=2，然后根据含30°角所对的直角边等于斜边的一半求得OF=1cm；
（2）根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长．

解答 解：（1）过点O作OF⊥CD于F，连接DO，
∵AE=1cm，BE=5cm，
∴AB=6cm，
∴⊙O的半径为3cm，
∴OE=3-1=2cm．
∵∠AEC=30°，
∴∠OEF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OE=1（cm）；
故点O到CD的距离为1cm；
（2）∵OF=1cm，
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由垂径定理得：CD=2DF=4$\sqrt{2}$．
故CD的长为4$\sqrt{2}$cm．

点评 考查了勾股定理，垂径定理和含30度角的直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．