Question

9．如图，三角形ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，请在AC上找一点E，使得BE+ED的和最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的和最小值，故E即为所求的点．

解答 解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的和最小值，
∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD=$\sqrt{3}$，BD=CD=1，BB′=2AD=2$\sqrt{3}$，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G=AD=$\sqrt{3}$．
在Rt△B′BG中，
BG=${\sqrt{BB{′}^{2}-B′G}}^{2}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，
∴DG=BG-BD=3-1=2，
在Rt△B′DG中，BD=$\sqrt{D{G}^{2}+B′{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故BE+ED的和最小值为$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．