Question

11．如图，（n+1）个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设阴影部分△B₂D₁C₁的面积为S₁，△B₃D₂C₂面积S₂，…，△B_n+1D_nC_n面积S_n，则S₂₀₁₅值为（　　）

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2013\sqrt{3}}{2014}$
• D． $\frac{2015\sqrt{3}}{2016}$

Answer 1

分析 由n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B₁，B₂，B₃，…B_n在一条直线上，可作出直线B₁B₂．易求得△AB₁C₁的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S₁的值，同理求得S₂的值，继而求得S_n的值．

解答 解：∵n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，
∴S_△AB1C1=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
连接B₁、B₂、B₃、B₄、B₅点，显然它们共线且平行于AC₁，
∵∠B₁C₁B₂=60°，
∴AB₁∥B₂C₁，
∴△B₁C₁B₂是等边△，且边长=2，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理：B₃B₄：AC₃=1：3，
∴B₃D₃：D₃C₃=1：3，
∴S₃=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
则归纳可得：S_n=$\frac{n\sqrt{3}}{n+1}$，
∴S₂₀₁₅=$\frac{2015\sqrt{3}}{2016}$，
故选：D．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质与三角形面积的求解方法，注意由一般到特殊的归纳方法，找到规律C_nD_n=$\frac{n}{n+1}$是解题的关键．